아파트 하위시장 실거래가 지수 산정방식 비교 연구^*

반복매매지수는 Bailey et al.(1963)에 의해 처음 제시한 모형으로 지수 산정비용이 적고, 실거래가격에 기초하여 시장 변화를 즉각적으로 반영하는 지수 산정이 가능하다. 반복 거래된 부동산의 가격을 이용하기 때문에 헤도닉 가격지수와 같이 방대한 부동산 특성자료들이 불필요하고, 두 번 이상 거래된 건물의 실거래가격만 있으면 지수를 만들 수 있는 장점이 있다. 하지만 반복매매 거래쌍을 구성하기 위해서 관측되는 실거래가 자료수가 적어 안정적인 지수 산정에 한계가 있다. Bailey et al.(1963)의 지수산정 모형은 반복매매모형의 가장 기본적인 형태로 본 논문에서는 ‘일반 반복매매모형’으로 기술하기로 한다.

2회 이상 거래된 주택을 대상으로 첫 번째 거래와 두 번째 거래 시점의 가격 정보를 이용해 지수를 산정하는 반복매매지수 산정식은 다음의 (식 1)과 같다. 먼저, 부동산 i의 첫 번째 거래가격(P_if)과 두 번째 거래가격(P_is)의 가격비율에 자연로그를 취한 값 ln(P_s/P_f)을 종속변수로 하고, 처음 거래 시점 f와 다음 거래 시점 s을 표현하는 더미변수 D_t를 도입하여 설정된다.

여기서 D_t는 t시점이 두 번째 거래시점(s)인 경우 1, 첫 번째 거래시점(f)인 경우 –1, 그 외에는 0의 값을 가지게 된다. 이러한 방식으로 매 시점의 누적가격변동률 β_t가 산출되면 t시점의 지수는 (식 2)와 같이 산정된다.

3개월 이동평균 지수는 지수 값의 상하 변동폭을 안정화시키기 위한 방식으로, 산출된 일반 반복매매지수의 3개월 지수 값의 평균으로 구한다. 일반 반복매매지수의 평균값을 이용하므로 일반 반복매매지수에 비해 변동성이 적어지는 특성을 지닌다. 기본적인 지수 값($I_t^m$)은 (식 1), (식 2)을 통해 일반 반복매매지수를 산정한 후, (식 3)과 같이 이전 두 달과 해당 달의 산출된 지수 값의 평균을 해당 시점 지수로 정한다.

3개월 중첩 지수는 분석에 사용되는 표본으로 해당 당월과 그 이전 두 개 시점의 자료를 중첩하여 이용하며, 지수를 안정화시키는 방식이다. 기본적인 지수 산정 모형은 (식 1), (식 2)의 일반 반복매매모형과 동일하지만, 지수 안정화를 위해 이전 2개월의 자료 ($Dat{a}_{t-1}^o,Dat{a}_{t-2}^o$)를 해당 월 자료 ($Dat{a}_t^o$)에 병합하여 해당 월의 새로운 자료($Dat{a}_t^n$)를 구축한다.

이러한 자료 활용방식은 연결된 두 기간의 자료가 중첩되어 이용됨으로써 각 시점의 지수값이 독립적이지 않고 이전 지수 수준에 제약되어 변화하는 구조를 만들어낸다. 이를 통해 각 시점의 지수값이 독립적으로 산출되어 자료수가 부족한 경우 지수산정이 안정적이지 못한 한계를 보완한다. 또한 불안정한 일반 반복매매지수의 2개월 이동평균 방식은 산정된 모든 월 지수가 동일한 영향력을 미치는 반면, 중첩지수는 해당 월과 이전 2개월의 자료를 병합하여 활용하는 관계로 자료수가 많은 월의 가중치가 크게, 상대적으로 자료수가 적은 월의 영향력이 작게 반복매매지수의 산정 시 직접 조정된다.

MIT/CRE 2단계 추정법은 자료수 부족의 문제를 해결하기 위해 MIT 부동산 연구센터에서 개발되었으며(Geltner and Bokhari, 2008), 미국의 상업용 부동산 전문기업인 RCA(Real Capital Analytics)에서 과거에 발표하였던 상업용 부동산 가격지수 Moody’s/REAL CPPI, Moody’s /RCA CPPI를 산정하는 데 활용하였던 방법이다. 분기 단위 지수 산정을 위해 첫 번째 단계로 한 개 분기씩 미뤄진 4종류의 연지수 set를 구성하여 기존의 반복매매모형을 통해 연 증감률 4개 set를 산출하고, 이를 바탕으로 Moore-Penrose의 의사역행력을 이용하여 분기 단위 가격변동률을 산출하는 방식이다.

기존의 관련 선행 연구에서는 연지수 set를 통해 최종적으로 분기 가격변동률을 재구성하는 방식이었다면(류강민·송기욱, 2020; 황규완·손재영, 2017), 본 연구에서는 목적상 한 개월씩 미뤄진 3종류의 분기가격변동률(r_A~r_C) set를 구성하고, 이를 통해 월 가격변동률(r₁~r_t)을 재구성하는 방식을 채택하였다.

1단계에서는 2006년 1월~2006년 3월을 첫 번째 분기로 하는 set A, 2006년 2월~2006년 4월을 첫 번째 분기로 하는 set B, 2006년 3월~2006년 5월을 첫 번째 분기로 하는 set C를 각각 구성하여 각각의 set별로 일반 반복매매모형을 이용하여 3개의 분기지수를 산출한다. 이 과정에서 자료가 적은 월의 자료는 분기단위 자료의 일부분이기 때문에 분기지수 산정 시에는 자료부족에 따라 발생할 수 있는 문제를 1차적으로 줄일 수 있다.

이러한 방식으로 산출되는 각 set별로 매 연도의 n번째 분기 가격변동률은 다음의 (식 5)와 같이 나타낼 수 있다.

2단계에서는 (식 5)의 연립방정식을 이용하여 월 가격변동률을 추정한다. 다만, 3개의 식을 통해 추정해야 하는 월 가격변동률 변수는 5개이기 때문에 여러 개의 해가 존재할 수 있어 Moore-Penrose의 의사역행렬(pseudoinverse)를 이용하여 한 개의 해를 구할 수 있다.

이러한 방식으로 부족한 자료수의 영향을 덜 받을 수 있는 분기지수를 우선적으로 산정한 후 이를 이용하게 되면 최종적으로 산출되는 월 가격변동률 또한 자료수 부족으로 인한 영향을 덜 받게 되어 보다 안정적인 월지수의 산정이 가능하게 된다.

그러나 MIT/CRE 지수 산정 시 각 분기지수 set별로 n개 시점에 대해 n- 1개의 분기 변동률을 산출하고, 이를 통해 월 변동률을 산출함으로써 최종적으로는 총 3n개 시점의 자료를 통해 3n-3개의 변동률을 산출하게 되어 초기 3개 시점의 월 변동률 산출에 어려움이 있다는 한계점이 존재한다.

지수의 성능을 평가하는 지표는 몇 가지가 있는데, 그 중 지수의 통계적인 신뢰도를 나타내는 가장 기초적인 평가지표는 추정치의 표준오차이다. 다만, 추정치의 단위나 수준이 다른 경우 표준오차 값이 큰 차이를 보이므로 많은 경우 추정치의 평균적인 수준을 통제하고 단위에 영향을 받지 않는 평가지표로서 변이계수(CV= standard deviation/mean)가 주로 이용된다. 그러나 가격지수의 경우 지수 값이 절대적인 수준이 아니라, 기준시점 대비 누적가격변동률의 성격을 지닌 상대적인 값으로 기준 시점을 다르게 설정할 경우 지수 값이 달라지는 특성이 있어 동일한 표준오차를 가진 지수의 기준시점을 변경할 경우 지수 값의 수준이 함께 변하게 되어 지수 값의 수준이 커질수록 변이계수가 감소하는 문제점이 발생할 수 있다(이창무 외, 2013). 따라서 4가지 모형의 지수화 된 표준오차의 평균값(Mean of Standard Error of Index, MSEI)으로 그 통계적 신뢰도를 평가하기로 하며, (식 6)과 같이 산출할 수 있다.

다만 MIT/CRE 지수는 기본적으로 under-determined된 연립방정식을 전제로 하므로 최소자승법을 적용해 추정된 값은 모두 R²=1.00이기 때문에 t 통계량, 표준오차 등을 산출할 수 없거나 의미를 부하기 어렵다(황규완·손재영, 2017). 또한 2개월 이동평균지수 역시 기본적으로 반복매매지수 값에서 이전 달과 해당 달의 산출된 지수 값의 평균으로 산정되기 때문에 표준오차 등을 산출하는데 한계가 있다. 따라서 본 연구에서 모형별 통계적 신뢰도 평가비교는 제한적으로 동일가중 반복매매지수와 중첩지수간의 비교를 통해서 진행하였다.

이창무 외(2013)는 지수 추세의 안정성을 평가하는 안정성 지수(Stability Index, SI)를 개발하였다. 기본적인 개념은 지수의 초기 시점과 마지막 시점 간 직선거리 대비 지수 그래프의 총 길이의 비를 통해 나타낸다. 따라서 지수값들이 연속적으로 초기지수와 마지막 시점 지수점을 연결하는 선상에 놓이면 1이 되고, 그 직선 상에서 많이 벗어나 위치할수록 0쪽으로 작은 값이 산출된다.

기준 시점이 1, 마지막 시점이 T이고, t시점의 지수 값을 I_t라고 할 때, 안정성 지수 SI는 다음과 같은 (식 7)을 통해 산정된다.

SI는 0에서 1 사이의 값을 지니며, 안정적일수록 커지며 1에 가까워진다. 따라서, SI 값이 클수록 보다 안정적인 지수로 평가할 수 있으나 그 값이 일정 수준 이상으로 크게 나타날 경우, 지나치게 평활화 되었다는 것을 의미하기도 하므로 SI 지표를 이용하여 지수 산정 모형을 비교함에 있어서 해석에 주의를 할 필요가 있다.

지수 변화(revision)는 매 시점에 새로 산정된 지수의 과거시점의 지수가 변화하는 것으로, 반복매매모형의 특성상 자료가 추가됨에 따라 기존에 지수 산정에 이용되지 않았던 과거의 거래자료가 새로이 반복 거래쌍을 형성하게 됨으로써 나타나는 변화를 나타낸다.

새로 산정된 지수에서 Revision이 발생하더라도 이는 더 많은 자료가 이용됨으로써 발생하는 것으로 어느 정도 수준에서 지수변화의 발생을 허용하는 것이 바람직할 수 있으나, 그 변화 정도가 크게 나타날 경우 시장에는 큰 혼란을 야기할 수 있는 문제가 있다. 따라서 지수 산정 모형별로 발생하게 되는 지수 변화의 정도를 RI(Revision Index)로 지표화하여 지수 성능을 비교하기로 한다.

<표 1>에서 0시점은 현재 시점을 나타내고, −1시점은 현재시점에서 한 시점 전의 시점을 나타낸다. 그리고 세로축은 지수산정 시점을, 가로축은 산정된 지수에서 어느 시점의 지수 값인지를 나타낸 것으로 현재 시점이 2019년 8월 말이라고 하면, P₀₀은 2019년 8월 말에 산정된 지수의 2019년 8월 지수 값이며, P₀₁은 2019년 8월 말에 산정한 2019년 7월 지수를 나타내고, 마찬가지로 P₁₁은 2019년 7월말에 산정된 지수의 2019년 7월 지수를 나타낸다. 여기서 지수변화 지표 RI는 2019년 7월 말에 산정된 2019년 7월 지수가 2019년 8월 말에 새로 산정되면서 얼마나 변화했는지를 나타내는 것으로 P₀₁과 P₁₁를 계산하게 되며, 이러한 변화들을 나열하였을 때 얼마나 과거(s)에 산정된 지수까지를 살펴볼 것인지, 각 시점별 산정된 지수 중 몇 기간(n) 이전의 지수까지를 비교할 것인지를 선택하여 각각의 지수변화 정도를 평균하여 아래의 (식 8)과 같이 계산할 수 있다.

<그림 1>을 예로 들면, 2019년 3분기에 산정된 지수부터 2018년 1분기에 산정된 지수까지를 이용하여 노란색 박스 안의 두 지수값의 차이를 산출하기 때문에 s는 6이고(노란색 박스 6개), 산정된 지수에서 최근시점부터 4개 시점 이전까지의 지수 값을 비교하기 때문에 n은 4가 된다(빨간색 화살표 4개).

그림 1. Revision 지표 산출 예시

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본 연구에서는 이와 같은 방식으로 시점별 Revision을 구한 후, 시점을 한 시점씩 줄여가면서 16개 시점의 Revision 변동치의 평균을 구하여 각 모형의 RI를 산출하였고, 각각의 RI 값을 통해서 각기 다른 산정방법에 따른 지수들의 Revision을 비교하였다. 다만, 각기 다른 모형의 Revision을 비교함에 있어 지수 값의 수준 차이가 RI 값의 수준에 영향을 줄 수 있기 때문에, 매월 지수 값 대신 가격변동률을 이용하여 Revision을 살펴보았다.

본 연구에 사용한 자료는 국토교통부 실거래가 신고 자료로 분석의 시간 범위는 실거래가 신고가 의무화 된 2006년 1월부터 2019년 8월까지이다. 자료수가 적어 안정적인 지수 산정에 한계가 있는 자치구별 하위시장 지수를 산정하고자 하였다. 2006년 1월부터 2019년 8월까지 서울시 전체 995,292건의 실거래 신고자료 중 자치구별 누적 신고자료 수는 아래 <그림 2>와 같이 나타났는데, 이 중 각각 7,213건, 9,779건으로 가장 적은 자료 수를 포함하고 있는 종로구, 중구와 아파트 시장에서 주요 관심 대상이 되어온 지역으로 63,751건의 자료를 포함하고 있는 강남구를 공간 범위로 설정하였다.

그림 2. 서울시 아파트 자치구별 누적신고 건수

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이창무·류강민(2011)에서 살펴본 바와 같이, 반복매매모형은 거래 쌍의 관측빈도가 낮아 자료이용의 비효율성이 가장 큰 문제로 거론된다. 이에 대한 대안으로 유사한 특성을 가진 주택의 동일주택 가정을 통하여 반복거래 쌍을 구성하는 방법이 사용되고 있다. 본 연구에서도 동일주택 가정을 고려하여 표본별로 (법정동+본번+부번+층 그룹+규모 그룹)을 동일주택으로 가정하여 지수를 산정하였다. 층 그룹은 1~2층을 저층 그룹으로 구성하고, 나머지 층을 그룹으로 구성하였으며, 면적 규모는 한국감정원 전국주택가격 동향조사 산정방식을 참고하여 <표 2>와 같이 6개 그룹으로 구성하였다.

거래자료 중에는 신고상 오류로 인해 가격 혹은 면적이 잘못 기입되어 있는 경우, 특정 거래유형으로 시장의 거래가격과 큰 차이가 있는 경우 등 이상치가 존재할 수 있는데, 이러한 이상치의 존재는 안정적인 지수 산정을 방해하는 요소가 될 수 있다. 따라서 단위가격을 기준으로 하여 Box-plot을 이용하여 이상치 제거 과정을 수행하였다.

그러나 시점별·자치구별로 가격 수준의 이상치를 검출함에 있어 매 시점별로 가격의 편차가 크게 차이날 수 있고, 실제로 가격이 크게 하락 또는 상승한 특정 시점의 경우, 상당수의 거래가 이상치로 판별될 수 있다. 특히 거래자료 수가 부족한 경우에는 이상치 판별 기준 선택을 위해 이용하는 중위값, 사분위수 등의 산출에 있어 이러한 문제들이 보다 크게 나타날 수 있기 때문에 중위값은 과거 1년치, 사분범위(IQR)는 과거 4개월치의 자료를 묶은(pooling) 자료를 이용하여 이상치 판단 기준을 산출하였다. 또한 Box-plot을 이용할 경우 낮은 가격에 비해 높은 가격이 분기별 대푯값이 되는 중위값으로부터 멀리 떨어져 있는 비대칭 분포의 문제가 있어 단위 거래가격을 log 변환한 값을 이용하였다. 이러한 방식으로 최종적으로는 [제1사분위수-1.5IQR], [제3사분위수+1.5 IQR]을 이상치 판단 기준으로 삼았다.

그 결과, 강남구 35건(0.1%), 종로구 161건(2.2%), 중구 125건(1.3%)의 자료가 이상치로 분류되어 제거하였다.

<그림 3>은 자치구별, 연도별 이용자료 수를 나타낸 것으로 강남구와 비교하여 종로구, 중구의 거래자료 수가 상당히 적을 것을 확인할 수 있다. 연도별로는 2006년, 2015~2018년에 3개 자치구 모두에서 거래가 많이 발생한 것으로 나타났고, 2019년의 경우에는 8월까지 만을 포함하고 있어 다른 연도와 직접적으로 비교하기에는 무리가 있다. 월별 이용자료 수를 살펴보면 강남구, 종로구, 중구에서 각각 월 평균 386, 43, 59건의 자료가 이용되었음을 확인할 수 있었다.

그림 3. 정제 후 자치구별·연도별 이용자료 수

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<표 3>은 이상치 제거 후 지수산정에 이용되는 거래자료에 대한 기초통계를 나타낸 것이다. 강남구, 종로구, 중구에 대하여 각각 63,716, 7,052, 9,654건의 자료가 이용되었고 거래된 아파트 규모 평균은 전용면적 80m² 내외로 나타났다. 평균 거래가격에 있어서는 강남구가 1,186만 원/m²로 각각 592만 원/m², 647만 원/m²로 나타난 종로구, 중구에 비해 2배 가까이 높은 거래가격을 나타내고 있었다.

반복매매지수 산정을 위해 앞서 선택한 [읍면동+본번+부번+층그룹+면적그룹]의 동일주택 가정을 기준으로 하여 반복 거래쌍을 구성한 결과, 분석기간 내 2회 이상 거래되어 거래쌍을 구성해 최종적으로 지수산정에 이용된 자료 수는 강남구 63,292건, 종로구 6,974건, 중구 9,561건으로 각각 원자료와 비교하여 99.3%, 96.7%, 97.8%의 자료 이용률을 나타내었다.

모형별 MSEI 산출 결과는 <표 4>와 같이 나타났다. MSEI는 모든 지역에서 일반 반복매매지수에 비해 중첩지수가 더 작게 나타나, 중첩지수의 통계적 신뢰도가 더 높은 것으로 확인되었다. 특히 구별로 비교하면 지수산정에 이용 중인 자료수가 많은 순서대로 통계적 신뢰도가 높았으며, 일반 반복매매지수와 중첩지수의 통계적 신뢰도 간 차이는 이용 자료 수가 적은 종로구, 중구에서 더 크게 나타났다.

하지만 앞서 언급한 것과 같이 2개월 이동평균지수와 MIT/CRE 지수는 직접적으로 표준오차 산출되지 않기 때문에 통계적 신뢰도만으로는 어떤 지수산정 모형이 더 우수한 성능을 가진다고 판단을 내리는데 한계가 있다.

모형별로 SI 산출 결과는 <표 5>와 같이 나타났다. 모든 지수산정 모형에서 일반 반복매매지수가 가장 불안정한 것으로 나타났고, 중첩지수가 가장 안정적으로 산정된 것을 확인할 수 있다. 3개월 이동평균 지수의 경우, 강남구를 제외하고는 중첩지수와 비슷한 수준의 안정성을 보였고, MIT/CRE 지수는 일반 반복매매지수보다는 안정적이지만, 중첩지수나 3개월 이동평균지수에 비해서는 여전히 불안정한 지표를 보여주고 있다.

Revision에 관해서는 지수 값의 변화가 아닌 월 변동률의 변화를 통해 비교하였다. 지수 작성 시점이 2019년 8월인 지수부터 2018년 12월인 지수까지, 즉 2019년 8월부터 최근 월의 자료부터 하나씩 제거해 나가면서 지수산정 모형별로 총 9개의 연속된 시점에 산정된 지수를 산출하였고, 각 지수에서 가장 최근 시점의 월 변동률부터 16기간 이전 시점의 월 변동률까지 Revision을 측정하였다. Revision 지표 측정 결과는 다음의 <표 6~8>과 같이 나타났으며 s는 지수 작성 시점을 8기간 이전까지 측정하였기 때문에 8로 고정하고, n은 5가지 경우로 1부터 n기간 이전 시점까지의 Revision 전체 평균으로 RI 값을 산출하였다.

기본적으로 일반 반복매매지수는 모든 자치구에서 평균 적인 지수변화 정도가 가장 큰 것으로 나타났다. 모형별로 비교하면, MIT/CRE 지수의 경우 가장 최근 시점의 지수변화 정도가 상당히 작게 나타나고, 그 이후로는 일정 수준을 유지하는 양상을 보이고 있다. 여기에서 평균값이 아닌 최근 시점으로부터 1개 기간씩 따로 산출해 보면 MIT /CRE 2단계 추정법의 모형 특성으로 인해 3기간 당 한 번씩 지수변화가 상당히 작게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 3개월 이동평균지수와 중첩지수는 최근 시점의 지수변화는 크게 나타나지만, 장기적으로는 점차 지수 변화 정도가 작아지는 방향으로 수렴하는 형태를 보여주고 있으며, 그 변화 정도 또한 강남구를 제외하면 크게 차이나지 않는 수준으로 나타났다. 그러나 종로구를 제외하면 대체로 3개월 이동평균 지수의 지수변화가 더 적게 나타나는 것을 확인할 수 있다.

결과적으로 최근 시점의 RI 값만을 비교하면 MIT/CRE 지수가 가장 지수변화 정도가 가장 적지만, 장기적으로 봤을 때는 3개월 이동평균 지수가 가장 지수변화 정도가 작게 나타났고, 중첩 지수도 그와 비슷한 수준으로 작은 RI 값을 나타내고 있다고 볼 수 있다.